在古书《孙子算经》中有一道题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”意思是:有一堆物品,三个三个数剩两个,五个五个数剩三个,七个七个数剩两个。求这堆物品的个数。我们称这类问题为孙子问题。类似问题在公务员考试行测中也会考到,考生们也要对其进行全面了解。
一、剩余问题的基础解法
【例1】 一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2。求满足条件的最小自然数。
【华政解析】这道例题就是《孙子算经》中的问题。这个问题有三个条件,一下子不好解答。那么,我们能不能先求出满足其中一个条件的数,然后再逐步增加条件,达到最终解决问题的目的呢?我们试试看。
满足“除以3余2”的数,有2,5,8,11,14,17,…
在上面的几个数字中再找满足“除以5余3”的数,这个数就是8,8是同时满足“除以3余2”、“除以5余3”两个条件的数,容易看出,8再加上3与5的公倍数,仍然满足这两个条件,所以满足这两个条件的数有
8,23,38,53,68,…
在上面的数中再找满足“除以7余2”的数,可以找到23,23是同时满足“除以3余2”、“除以5余3”、“除以7余2”三个条件的数。23再加上或减去3,5,7的公倍数,仍然满足这三个条件,[3,5,7]=105,因为23<105,所以满足这三个条件的最小自然数是23。
在例1中,若找到的数大于[3,5,7],则应当用找到的数减去[3,5,7]的倍数,使得差小于[3,5,7],这个差即为所求的最小自然数。
二、剩余问题的特殊情况
(1)余同(余数相同)加余
【例题2】某校二年级全部共3个班的学生排队,每排4人,5人或6人,最后一排都只有2人,这个学校二年级有( )名学生。
A.120 B.122 C.121 D.123
【答案】B
【华政解析】由题意可知该校二年级的学生人数除以4、5、6均余2,余数相同,属于余同,因此该班学生人数满足通项公式N=60n+2 ,(n=0,1,2,3……),当n=2时,N=122,选择B项。
注:n前面的系数60是取4、5、6三个除数的最小公倍数。
(2)和同(除数和余数的和相同)加和
【例题3】某个数除以5余3,除以6余2,除以7余1,求在0至500内满足这样的自然数有多少个?
A.3 B.2 C.4 D.5
【答案】A
【华政解析】此题我们通过观察会发现除数与余数的和相加均为8,则该自然数应满足N=210n+8(n=0,1,2……)因此在0至500以内满足题干条件的自然数有8,218,428三个数。
注:n前面的系数210是取5、6、7三个除数的最小公倍数。
(3)差同(除数与余数之差相同)减差
【例题4】三位运动员跨台阶,台阶总数在100-150级之间,第一位运动员每次跨3级台阶,最后一步还剩2级台阶。第二位运动员每次跨4级台阶,最后一步还剩3级台阶。第三位运动员每次跨5级台阶,最后一步还剩4级台阶。问:这些台阶总共有多少级?
A. 119 B. 121 C. 129 D. 131
【答案】A
【华政解析】通过观察我们会发现除数与余数的差均为1,因此台阶数满足:N=60n-1(n=1,2,3……),可发现A项满足该通项公式。
三、剩余问题的特殊情况
用同余特性解题
【例题5】三位数的自然数P满足:除以3余2,除以7余3,除以11余4,则符合条件的自然数P有多少个?
A.5 B. 4 C. 6 D. 7
【答案】B
【华政解析】此题不满足我们前面所讲的特殊情况,但是通过观察我们发现,P满足除以3余2,除以7余3两个条件时,在P的基础上加上4,即(P+4)这个数一定是能够被3整除以及被7整除的,因此(P+4)=21n,所以P=21n-4……①,得到的这个通项公式再与除以11余4进行找通项公式。该自然数P=21n-4=11a+4,等式左边都是被11除,等式左边的余数为10n-4,等式右边的余数为4,我们知道一个数被11除余4,也可以认为这个数被11除余15,或被11除余26等。根据同余特性可知,等式左边的余数10n-4应与等式右边的余数4,15,26等数值相等。因为n要取整数,所以取10n-4=26可以得到n=3代入①式得到P=59,所求的59这个数是满足题干三个条件的最小数,所以,满足题干三个条件的数P=231n+59(n=1,2,3……),所以在三位数以内的数有290,521,752,983四个数。选择B项。